Question

已知圓O：x²+y²=4和點(diǎn)M（1，a），
（1）若過點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值，并求出切線方程；
（2）若，過點(diǎn)M的圓的兩條弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是圓的切線方程，即直線與圓方程的應(yīng)用．（1）要求過點(diǎn)M的切線方程，關(guān)鍵是求出切點(diǎn)坐標(biāo)，由M點(diǎn)也在圓上，故滿足圓的方程，則易求M點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入圓的切線方程，整理即可得到答案．（2）由于直線AC、BD均過M點(diǎn)，故可以考慮設(shè)兩個(gè)直線的方程為點(diǎn)斜式方程，但由于點(diǎn)斜式方程不能表示斜率不存在的情況，故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況，然后利用弦長公式，及基本不等式進(jìn)行求解．
解答：解：（1）由條件知點(diǎn)M在圓O上，
∴1+a²=4
∴a=±
當(dāng)a=時(shí)，點(diǎn)M為（1，），k_OM=，
此時(shí)切線方程為：y-=-（x-1）
即：x+y-4=0
當(dāng)a=-時(shí)，點(diǎn)M為（1，-），k_OM=-，
此時(shí)切線方程為：y+=（x-1）
即：x-y-4=0
∴所求的切線方程為：x+y-4=0或即：x-y-4=0
（2）當(dāng)AC的斜率為0或不存在時(shí)，可求得AC+BD=2（+）
當(dāng)AC的斜率存在且不為0時(shí)，
設(shè)直線AC的方程為y-=k（x-1），
直線BD的方程為y-=（x-1），
由弦長公式l=2
可得：AC=2
BD=2
∵AC²+BD²=4（+）=20
∴（AC+BD）²=AC²+BD²+2AC×BD≤2（AC²+BD²）=40
故AC+BD≤2
即AC+BD的最大值為2
點(diǎn)評：求過一定點(diǎn)的圓的切線方程，首先必須判斷這點(diǎn)是否在圓上．若在圓上，則該點(diǎn)為切點(diǎn)，若點(diǎn)P（x，y）在圓（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）上，則 過點(diǎn)P的切線方程為（x-a）（x-a）+（y-b）（y-b）=r²（r＞0）；若在圓外，切線應(yīng)有兩條．一般用“圓心到切線的距離等于半徑長”來解較為簡單．若求出的斜率只有一個(gè)，應(yīng)找出過這一點(diǎn)與x軸垂直的另一條切線．