Question

【題目】如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2)，與x軸的正半軸交于兩點(diǎn) (點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，且.

(1)求圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)任作一直線與圓O： 相交于兩點(diǎn)，連接，求證： 定值．

Answer 1

【答案】（1） (2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）由題意，得到圓C的方程為2＋(y－2)2＝；（2）直線AB：x＝1＋ty，聯(lián)立圓O方程，得到韋達(dá)定理，求得kAN＋kBN為定值。

試題解析：

(1)因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)T(0,2)，可設(shè)圓心的坐標(biāo)為(m,2)(m>0)，

則圓C的半徑為m，又|MN|＝3，所以m2＝4＋2＝，解得m＝，所以圓C的方程為2＋(y－2)2＝.

(2)由(1)知M(1,0)，N(4,0)，當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，易知kAN＝kBN＝0，即kAN＋kBN＝0.

當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AB：x＝1＋ty，將x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以

則kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝＝0.

綜上可知，kAN＋kBN為定值．