如圖:已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形,PD⊥底面ABCD,E為棱BC的中點,PD=1.
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)求異面直線PB和DE所成角的大。ńY(jié)果用反三角表示)
分析:(1)直接利用棱錐的體積公式求解;
(2)取PC中點F,連結(jié)EF,由三角形的中位線定理得到PB∥EF,從而找到異面直線PB和DE所成角,然后在△DEF中利用余弦定理求解.
解答:解:(1)∵ABCD是邊長為2的正方形,
∴S四邊形ABCD=4.
又PD⊥底面ABCD,且PD=1.
VP-ABCD=
1
3
S四邊形ABCD•PD
=
1
3
×4×1=
4
3
;
(2)如圖,
取PC中點F,連結(jié)EF,∵E是BC中點,∴PB∥EF,EF=
1
2
PB

∴∠DEF為異面直線PB和DE所成的角.
由底面為邊長為2的正方形,可得DB=2
2
,由PD=1,∴PB=3,
則EF=
3
2

由DC=2,CE=1,得DE=
5

由PD=1,DC=2,得PC=
5
,∴DF=
5
2

在△DEF中,cos∠DEF
DE2+EF2-DF2
2DE•EF
=
(
5
)2+(
3
2
)2-(
5
2
)2
5
×
3
2
=
2
5
5

∴異面直線PB和DE所成角的大小為arccos
2
5
5
點評:本題考查了棱錐的體積,考查了異面直線所成的角及其求法,求解異面直線所成的角,往往把要求的角轉(zhuǎn)化為一個三角形的內(nèi)角,借助于余弦定理求解,是中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點,
求證:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動點,EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長度.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.點E是BC邊上的中點.
(1)求證:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•崇明縣二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點,AB=2,AP=2.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•吉林二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,點M,N分別在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求證:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

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