【題目】已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.
(1)討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性;
(2)證明:;
(3)設(shè)n∈N*,證明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
【答案】(1)當時,單調(diào)遞增,當時,單調(diào)遞減,當時,單調(diào)遞增.(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】
(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后由導(dǎo)函數(shù)的零點確定其在各個區(qū)間上的符號,最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可;
(2)首先確定函數(shù)的周期性,然后結(jié)合(1)中的結(jié)論確定函數(shù)在一個周期內(nèi)的最大值和最小值即可證得題中的不等式;
(3)對所給的不等式左側(cè)進行恒等變形可得,然后結(jié)合(2)的結(jié)論和三角函數(shù)的有界性進行放縮即可證得題中的不等式.
(1)由函數(shù)的解析式可得:,則:
,
在上的根為:,
當時,單調(diào)遞增,
當時,單調(diào)遞減,
當時,單調(diào)遞增.
(2)注意到,
故函數(shù)是周期為的函數(shù),
結(jié)合(1)的結(jié)論,計算可得:,
,,
據(jù)此可得:,,
即.
(3)結(jié)合(2)的結(jié)論有:
.
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【題目】設(shè)α,β是空間中的兩個平面,l,m是兩條直線,則使得α∥β成立的一個充分條件是( )
A.lα,mβ,l∥mB.l⊥m,l∥α,m⊥β
C.lα,mα,l∥β,m∥βD.l∥m,l⊥α,m⊥β
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【題目】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層,上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊,下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊,已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)( )
A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C的極坐標方程為.
求直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程;
若直線l與曲線C交于A,B兩點,求線段AB的中點P到坐標原點O的距離.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線的坐標方程為,若直線與曲線相切.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)在曲線上取兩點、于原點構(gòu)成,且滿足,求面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù),(是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù),證明:有極大值,且滿足.
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【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面四邊形ABCD是一個菱形,且∠ABC,AB=2,PA⊥平面ABCD.
(1)若Q是線段PC上的任意一點,證明:平面PAC⊥平面QBD.
(2)當平面PBC與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為時,求PA的長.
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