Question

【題目】如圖，四棱柱的底面是菱形， ， ， ．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，直線上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為.若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 或.

【解析】試題分析：（Ⅰ）用幾何法證明，先證得平面，再證平面平面.

（Ⅱ）由條件可得兩兩相互垂直，故可建立坐標系，轉化為代數運算求解。

試題解析：（Ⅰ）證明：

因為， 為的中點，

則.

又因為四邊形是菱形，

所以，

因為，

所以平面，

因為平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）在菱形中，由，可得，

由，可得.

在三角形中，由，可得.

故得兩兩相互垂直.

以為原點， 方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系.

則， ， ， ，

由，可得， ，

設， ，

所以.

設平面的法向量為，

因為， ，

所以由得.

設直線與平面所成角為，由題意得

解得 或.

當時， ; 當時，

所以或.