Question

【題目】已知關(guān)于x的不等式|x+1|+|x﹣1|＜4的解集為M．
（1）設(shè)Z是整數(shù)集，求Z∩M；
（2）當(dāng)a，b∈M時(shí)，證明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

【答案】
（1）解：|x+1|+|x﹣1|= 當(dāng)

x＜﹣1時(shí)，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）=2＜4；當(dāng)x＞1時(shí)，由2x＜4，得1＜x＜2．

所以M=（﹣2，2），故Z∩M={﹣1，0，1}}

（2）證明：當(dāng)a，b∈M即﹣2＜a，b＜2，

∵4（a+b）2﹣（4+ab）2=4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）=（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，

∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|

【解析】（1）利用絕對(duì)值的幾何意義，解出M，利用Z是整數(shù)集，求Z∩M；（2）當(dāng)a，b∈M時(shí)，利用作差法證明：2|a+b|＜|4+ab|．
【考點(diǎn)精析】掌握絕對(duì)值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．