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已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F2，離心率為
2
2
，兩焦點與上下頂點形成的菱形面積為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點F2的直線l與橢圓交于A，B兩點，四邊形F1ACB為平行四邊形，O為坐標原點，且|OC|=
53
3
，求直線l的方程．
（1）因為離心率為
2
2
，
所以a=
2
c．
又因為兩焦點與上下頂點形成的菱形面積為2，
所以bc=1．
因為a2=b2+c2，
所以a=
2
，b=1．
所以橢圓的方程為：
x2
2
+y2=1
（2）當直線l的斜率不存在時，即直線l的方程為：x=1，
所以A（1，
2
2
），B（1，-
2
2
）．
因為四邊形F1ACB為平行四邊形，
所以C（3，0），所以|OC|=3≠
53
3
，
所以直線l的斜率不存在不符合題意，即直線l的斜率存在；
設直線l的方程為：y=k（x-1），代入橢圓方程：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0
由題意可得：△＞0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
4k2
1+2k2
，
因為四邊形F1ACB為平行四邊形，
所以C（x1+x2+1，y1+y2）．
因為|OC|=
53
3

所以(x1+x2+1)2+(y1+y2)2=
53
9
，
所以結合韋達定理可求出k2=1，即k=±1，
所以所求直線的方程為：y=±（x-1）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+
3
和2-
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當d=1時
1
a2
+
1
b2
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知半徑為r的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交點為P．
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（1）若四邊形ABCD中的一條對角線AC的長度為d（0＜d＜2r），試求：四邊形ABCD面積的最大值；
（2）試探究：當點P運動到什么位置時，四邊形ABCD的面積取得最大值，最大值為多少？
（3）對于之前小題的研究結論，我們可以將其類比到橢圓的情形．如圖2，設平面直角坐標系中，已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD相互垂直且交于點P．試提出一個由類比獲得的猜想，并嘗試給予證明或反例否定．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•武漢模擬）已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
3
，半焦距為c（c＞0），且a-c=1．經過橢圓的左焦點F，斜率為k1（k1≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）當k1=1時，求S△AOB的值；
（Ⅲ）設R（1，0），延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為k2，求證：
k1
k2
為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
3
，點P (
3
5
5
，-2)在此橢圓上，經過橢圓的左焦點F，斜率為K的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；
（Ⅱ）當K=1時，求S△AOB的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•紅橋區(qū)二模）已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=l（a＞b＞0）的一個頂點坐標為B（0，1），若該橢圓的離心率等于
3
2
．
（1）求橢圓的方程．
（2）設Q是橢圓上任意一點，F1F2分別是左、右焦點，求∠F1QF2的取值范圍；
（3）以B為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形ABC，判斷這樣的三角形存在嗎？若存在，有幾個？若不存在，請說明理由．

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