Question

已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+

3

和2-

3

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標(biāo)原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設(shè)原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時

1

a2

+

1

b2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+

3

和2-

3

，知2a=4，2c=2

3

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等．當(dāng)P在y軸上時，R在x軸上，PR方程為

x

a

+

y

b

=1，

1

a2

+

1

b2

=1．當(dāng)P在x軸上時，R在y軸上，PR方程為

x

a

+

y

b

=1，

1

a2

+

1

b2

=1．當(dāng)P不在坐標(biāo)軸上時，設(shè)PQ斜率為k，P（x₁，kx₁）、R(x2，-

1

k

x2)，P在橢圓上，

1

x 2 1

=

1

a2

+

k2

b2

，R在橢圓上，

1

x 2 1

=

1

a2

+

1

k2b2

．利用Rt△POR得d|PR|=|OP|•|OR|，由此得

1

a2

+

1

b2

=1．故當(dāng)d=1時，有

1

a2

+

1

b2

=1．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+

3

和2-

3

，
∴2a=4，a=2，2c=2

3

，c=

3

，
∴橢圓的方程：

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等
（1）當(dāng)P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為

x

a

+

y

b

=1，d=1?

1

a2

+

1

b2

=1．
（2）當(dāng)P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為

x

a

+

y

b

=1，d=1?

1

a2

+

1

b2

=1．
（3）當(dāng)P不在坐標(biāo)軸上時，設(shè)PQ斜率為k，P（x₁，kx₁）、R(x2，-

1

k

x2)
P在橢圓上，

1

x 2 1

=

1

a2

+

k2

b2

①；
R在橢圓上，

1

x 2 1

=

1

a2

+

1

k2b2

②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　(x1-x2)2+(kx1+

x2

k

)2=(

x

2 1

+k2

x

2 1

)(

x

2 2

+

x 2 2

k2

)
整理得　

k2

x 2 2

+

1

x 2 1

=1+k2．再將①②代入，得

1

a2

+

1

b2

=1
綜上當(dāng)d=1時，有

1

a2

+

1

b2

=1．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．