Question

已知a∈R，設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=a^x是R上的單調(diào)遞減函數(shù)；命題q：函數(shù)g（x）=lg（2ax²+2ax+1）的定義域為R．若“p∨q”是真命題，“p∧q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：本題考查的知識點是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先判斷組成復(fù)合命題的簡單命題的真假，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷．命題p為真命題時，指數(shù)函數(shù)f（x）=a^x的底數(shù)0＜a＜1，命題q為真命題時，對數(shù)函數(shù)g（x）=lg（2ax²+2ax+1）的真數(shù)2ax²+2ax+1＞0在R上恒成立，求得0≤a＜2．p∨q是真命題，p∧q是假命題，所以p，q一真一假，分類討論即可．

解答： 解：當(dāng)命題p為真命題時，因為函數(shù)f（x）=a^x是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
所以0＜a＜1--------------------（2分）
當(dāng)命題q為真命題時，因為函數(shù)g（x）=lg（2ax²+2ax+1）的定義域為R
所以2ax²+2ax+1＞0在R上恒成立
當(dāng)a=0時，1＞0在R上恒成立----------------（4分）
當(dāng)a≠0時，則有

a＞0 △=4a2-8a＜0

，解得0＜a＜2
所以，當(dāng)命題q為真命題時，0≤a＜2---------------（8分）
因為p∨q是真命題，p∧q是假命題，所以p，q一真一假
當(dāng)p真q假時，有

0＜a＜1 a＜0或a≥2

，無解--------------（9分）
當(dāng)p假q真時，有

a≤0或a≥1 0≤a＜2

，解得1≤a＜2或a=0-----------（11分）
綜上所述a的取值范圍是1≤a＜2或a=0----------------（12分）

點評：解題關(guān)鍵是由p∨q是真命題，p∧q是假命題，得p，q一真一假