Question

a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，且（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

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5

sinBsinC，邊b和c是關(guān)于x的方程：x²-9x+25cosA=0的兩根（b＞c），D為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)D到三邊距離之和為d．
（1）求角A的正弦值；       
 （2）求邊a，b，c；      
（3）求d的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

18

5

sinBsinC，利用正弦定理可得b2+c2-a2=

8

5

bc，進(jìn)而利用余弦定理求cosA，從而可求sinA的值；
（2）由方程x²-9x+25cosA=0，可得x²-9x+20=0，從而b=5，c=4，利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=9，可求得a=3；
（3）設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z，利用間接法求出三角形面積并讓其等于6得到關(guān)于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，兩者聯(lián)立消去z后表示出y的關(guān)系式，利用距離大于等于0得到一個(gè)不等式組，畫出此不等式組所表示的平面區(qū)域，在平面區(qū)域內(nèi)得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范圍．

解答：解：（1）由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=

18

5

sinBsinC
由正弦定理∴sin²B+sin²C-sin²A=

8

5

sinBsinC∴b2+c2-a2=

8

5

bc（2分）
由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

，（3分）
∴sinA=

3

5

（4分）
（2）由（1）方程x²-9x+25cosA=0即x²-9x+20=0，則b=5，c=4（6分）
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，∴a=3（8分）
（3）設(shè)D到三邊的距離分別為x、y、z，
則 S△ABC=

1

2

(3x+4y+5z)=6
d=x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)又x、y滿足

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

由d=

12

5

+

1

5

（2x+y）得到y(tǒng)=-2x+5d-12，畫出不等式表示的平面區(qū)域得：y=-2x+5d-12是斜率為-2的一組平行線，
當(dāng)該直線過(guò)不等式表示的平面區(qū)域中的O點(diǎn)即原點(diǎn)時(shí)與y軸的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=

12

5

；
當(dāng)該直線過(guò)A點(diǎn)時(shí)，與y軸的截距最大，把A（4．，0）代入即可求得d=4，
所以滿足題意d的范圍為：

12

5

＜d＜4

點(diǎn)評(píng)：本題以三角函數(shù)為載體，考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理、三角形的面積公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．