Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與兩定點(diǎn)A（-2, 0）, B（2,0）連線的斜率之積等于，若點(diǎn)P的軌跡為曲線E，過(guò)點(diǎn)Q作斜率不為零的直線交曲線E于點(diǎn)．

（1）求曲線E的方程；

（2）求證：；

（3）求面積的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）略；（3）1.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可分別求出連線，的斜率，，再由條件斜率之積為列出方程，進(jìn)行化簡(jiǎn)整理可得曲線的方程，注意點(diǎn)不與點(diǎn)重合.根據(jù)斜率的計(jì)算公式可求得，，所以，化簡(jiǎn)整理可得曲線的方程為；

（2）若要證，只要證，再利用兩個(gè)向量數(shù)量積為零的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明即可.那么由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去，可得關(guān)于的一元二次方程，由違達(dá)定理知，則，，又，，所以，從而可以證明；

（3）根據(jù)題意可知，

又，故當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積為1.

試題解析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，由條件得：

，化簡(jiǎn)得，

故曲線E的方程為. 4分（說(shuō)明：不寫(xiě)的扣1分）

（2）斜率不為0，所以可設(shè)方程為，與橢圓聯(lián)立得：設(shè)， 所以，. 6分

，

所以 8分

（3）面積為， 10分

當(dāng)時(shí)的面積最大為. 12分[

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.向量法證明兩直線垂直；3.三角形面積的計(jì)算.