Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù)f（x）=k（x-2）+3的圖象為直線l，且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，給出下列四個(gè)命題：
①存在正實(shí)數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有一條；
②存在正實(shí)數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有兩條；
③存在正實(shí)數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有三條；
④存在正實(shí)數(shù)m，使△AOB的面積為m的直線l僅有四條．
其中所有真命題的序號(hào)是（ ）
A．①②③
B．③④
C．②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)直線方程求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，再構(gòu)造以斜率k為自變量，S_△是變量k的函數(shù)，利用均值不等式求函數(shù)最小值方法，分k＞0和k＜0兩種情況討論存在直線的條件，再分析求解．
解答：解：∵直線y=k（x-2）+3與x軸，y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，A（2-，0），B（0，3-2k）．
S_△=×|2-|×|3-2k|=×．
當(dāng)k＞0時(shí)，S_△=×=×（4k+-12），
∵4k+≥2=12，當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)S_△=m＞0時(shí)，在k＞0時(shí)，k有兩值；
當(dāng)k＜0時(shí)，S_△=×=×=×[（-4k+）+12]，
∵-4k+≥2=12．當(dāng)且僅當(dāng)k=-時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)m＞12時(shí)，在k＜0時(shí)，k有兩值．；
∴當(dāng) m=0時(shí)，僅有一條直線使△AOB的面積為m，∴①不正確；
當(dāng)0＜m＜12時(shí)，僅有兩條直線使△AOB的面積為m，∴②正確；
當(dāng)m=12時(shí)，僅有三條直線使△AOB的面積為m，∴③正確；
當(dāng)m＞12時(shí)，僅有四條直線使△AOB的面積為m，∴④正確．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題借助考查命題的真假判定，考查直線與坐標(biāo)軸圍成的△的面積問題．S_△的面積可根據(jù)直線在坐標(biāo)軸上的截距求得．在本題中根據(jù)斜率k取值的個(gè)數(shù)來確定直線存在的條數(shù)，這是解決此類題的常用方法．