已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設(shè)向量
m
=(a,b)
,
n
=(sinB,sinA)
,
p
=(b-2,a-2)

(1)若
m
n
,求證:△ABC為等腰三角形;
(2)若
m
p
,邊長c=2,角C=
π
3
,求△ABC的面積.
分析:(1)利用向量平行的條件,寫出向量平行坐標(biāo)形式的條件,得到關(guān)于三角形的邊和角之間的關(guān)系,利用余弦定理變形得到三角形是等腰三角形.
(2)利用向量垂直數(shù)量積為零,寫出三角形邊之間的關(guān)系,結(jié)合余弦定理得到求三角形面積所需的兩邊的乘積的值,求出三角形的面積.
解答:證明:(1)∵m∥n
∴asinA=bsinB
即a•
a
2R
=b•
b
2R
.其中R為△ABC外接圓半徑.
∴a=b
∴△ABC為等腰三角形.
(2)由題意,m•p=0
∴a(b-2)+b(a-2)=0
∴a+b=ab
由余弦定理4=a2+b2-2ab•cos
π
3

∴4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab
∴ab2-3ab-4=0
∴ab=4或ab=-1(舍去)
∴S△ABC=
1
2
absinC
=
1
2
×4×sin
π
3
=
3
點評:向量是數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,它既是代數(shù)的對象,又是幾何的對象,作為代數(shù)的對象,向量可以運算,而作為幾何對象,向量有方向,可以刻畫直線、平面切線等幾何對象;向量有長度,可以刻畫長度等幾何度量問題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設(shè)向量
m
=(a,b),
n
=(sinB,sinA),
p
=(b-2,a-2).
(1)若
m
n
,試判斷△ABC的形狀并證明;
(2)若
m
p
,邊長c=2,∠C=
π
3
,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
m
=(
3
sin2x-1,cosx),n=(
1
2
,cosx),設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在[0,
π
2
]上的最大值;
(2)已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,A、B為銳角,f(A+
π
6
)=
3
5
,f(
B
2
-
π
12
)=
10
10
,又a+b=
2
+1,求a、b、c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的角A,B,C所對的邊a,b,c,且acosC+
12
c=b

(1)求角A的大。
(2)若a=1,求b+c的最大值并判斷這時三角形的形狀.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的角A,B,C的對邊依次為a,b,c,若滿足
3
tanA•tanB-tanA-tanB=
3

(Ⅰ)求∠C大;
(Ⅱ)若c=2,且△ABC為銳角三角形,求a2+b2取值范圍.

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