Question

已知向量

m

=（

3

sin2x-1，cosx），n=（

1

2

，cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在[0，

π

2

]上的最大值；
（2）已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A、B為銳角，f（A+

π

6

）=

3

5

，f（

B

2

-

π

12

）=

10

10

，又a+b=

2

+1，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則即可得到f（x）的解析式，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由x的范圍求出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到f（x）的值域，進而得到f（x）的最大值；
（2）由f(A+

π

6

)=

3

5

，代入f（x）并利用誘導(dǎo)公式化簡后，即可得到cos2A的值，然后利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出sinA的值，由A為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cosA的值，又f(

B

2

-

π

12

)=

10

10

，代入f（x）化簡后即可求出sinB的值，由B的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cosB的值，由正弦定理，根據(jù)求出的sinA和sinB的值即可得到a與b的關(guān)系式，由a與b的和即可求出a與b的值，然后由sinA，cosA，sinB及cosB的值，根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式即可求出sinC的值，由b，sinB，sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：（1）f(x)=

m

• 

n

=

3

2

sin2x-

1

2

+cos2x=sin(2x+

π

6

)，（3分）
∴T=

2π

2

=π，
由0≤x≤

π

2

得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴f（x）_max=1；（16分）
（2）∵f(A+

π

6

)=

3

5

，
∴cos2A=

3

5

⇒sin2A=

1-cos2 A

2

=

1

5

，
∵A為銳角，∴sinA=

5

5

，cosA=

2 5

5

（7分）
又f(

B

2

-

π

12

)=

10

10

⇒sinB=

10

10

，
∵B為銳角，∴cosB=

3 10

10

，（8分）
由正弦定理知

a

b

=

sinA

sinB

=

2

⇒a=

2

b
又a+b=

2

+1⇒a=

2

，b=1（10分）
又∵sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+cosA•sinB=

5

5

•

3 10

10

+

2 5

5

•

10

10

=

2

2

，
由

c

sinC

=

b

sinB

⇒c=

b•sinC

sinB

=

2

2

×

10

=

5

（12分）

點評：此題考查學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積的運算法則及正弦函數(shù)的值域，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及正弦定理化簡求值，靈活運用二倍角的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，是一道中檔題．