Question

函數(shù)f（x）=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

，直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象相交于四個不同的點，從小到大，交點橫坐標(biāo)依次記為a，b，c，d，下列說法錯誤的是（　　）

• A、m∈[3，4）
• B、abcd∈[0，e⁴）
• C、a+b+c+d∈[e⁵+

  1

  e

  -2，e⁶+

  1

  e2

  -2）
• D、若關(guān)于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則m取值唯一

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對于①畫出y=f（x）與y=m的圖象即可；對于②，結(jié)合圖象把a(bǔ)bcd的不等式用m表示出來；
對于③同樣用m把a(bǔ)+b+c+d表示出來；對于④若關(guān)于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則y=f（x）與y=-x+m有三個不同的交點，畫圖即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

-x2-2x+3，x≤0 |2-lnx|，x＞0

，即f（x）=

-(x+1)2+4，x≤0 |2-lnx|，x＞0

，
∴函數(shù)f（x）的圖象如下：


若直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象相交于四個不同的點，由圖可知m∈[3，4），故①正確；
四個交點橫坐標(biāo)從小到大，依次記為a，b，c，d，則a，b是x²+2x+m-3=0的兩根，
∴a+b=-2，ab=m-3，∴ab∈[0，1），且lnc=2-m，lnd=2+m，∴l(xiāng)n（cd）=4∴cd=e⁴，
∴abcd∈[0，e⁴），∴②是正確的；
由2-lnx=4得x=

1

e2

，由2-lnx=3得x=

1

e

，∴c∈（

1

e2

，

1

e

]，又∵cd=e⁴，
∴a+b+c+d=c+

e4

c

-2在（

1

e2

，

1

e

]是遞減函數(shù)，∴a+b+c+d∈[e⁵+

1

e

-2，e⁶+

1

e2

-2）； 
∴③是正確的；
若關(guān)于x的方程f（x）+x=m恰有三個不同實根，則y=f（x）與y=-x+m有三個不同的交點，
而直線y=-x+3 與y=-x+

13

4

均與y=f（x）有三個交點，∴m不唯一．∴④是不正確的．
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的圖象，分段函數(shù)，零點與方程的根之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)．