Question

9．已知${（{x^{\frac{2}{3}}}+3{x^2}）^n}$的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992．
（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求${S_n}=C_n^1+C_n^2•2+C_n^3•{2^2}+…+C_n^n•{2^{n-1}}$值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得（1+3）ⁿ-2ⁿ=992，解得2ⁿ=32，可得n=5，可得展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)或第四項(xiàng)，再利用通項(xiàng)公式求得結(jié)果．
（2）根據(jù)${S_n}=C_n^1+C_n^2•2+C_n^3•{2^2}+…+C_n^n•{2^{n-1}}$=$\frac{{-C}_{n}^{0}{+[C}_{n}^{0}{+C}_{n}^{1}•2{+C}_{n}^{2}{•2}^{2}+…{+C}_{n}^{n}{•2}^{n}]}{2}$，利用二項(xiàng)式定理求出結(jié)果．

解答 解：（1）由題意可得（1+3）ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，
解得2ⁿ=32 或2ⁿ=-31 （舍去），求得n=5，
故展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第三項(xiàng)或第四項(xiàng)，
第三項(xiàng)為T(mén)₃=${C}_{5}^{2}$•9x⁶，第四項(xiàng)為T(mén)₄=${C}_{5}^{3}$•27${x}^{\frac{22}{3}}$．
（2）${S_n}=C_n^1+C_n^2•2+C_n^3•{2^2}+…+C_n^n•{2^{n-1}}$=$\frac{{-C}_{n}^{0}{+[C}_{n}^{0}{+C}_{n}^{1}•2{+C}_{n}^{2}{•2}^{2}+…{+C}_{n}^{n}{•2}^{n}]}{2}$
=$\frac{-1{+（1+2）}^{n}}{2}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題