Question

對(duì)任意x∈R，給定區(qū)間[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z），設(shè)函數(shù)f（x）表示實(shí)數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)
整數(shù)之差的絕對(duì)值．
（1）當(dāng)x∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，求出f（x）的解析式；當(dāng)x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）時(shí)，寫出用絕對(duì)值符號(hào)表示的f（x）的解析式；
（2）求f(

4

3

)，f(-

4

3

)的值，判斷函數(shù)f（x）（x∈R）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)e-

1

2

＜a＜1時(shí)，求方程f(x)-loga

x

=0的實(shí)根．（要求說明理由e-

1

2

＞

1

2

）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，根據(jù)定義，寫出f（x）的解析式；當(dāng)x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）時(shí)，由定義知：k為與x最近的一個(gè)整數(shù)，寫出解析式即可；（2）根據(jù)（1）求得
f(

4

3

)，f(-

4

3

)即可，利用奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）（x∈R）的奇偶性，（3）要求方程f(x)-loga

x

=0的根，即求|x-k|-

1

2

log_ax=0的根，分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得方程根的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[-

1

2

，

1

2

]時(shí)，
由定義知：x與0距離最近，f（x）=|x|，x∈[-

1

2

，

1

2

]
當(dāng)x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）時(shí)，
由定義知：k為與x最近的一個(gè)整數(shù)，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈z）；
（2）f(

4

3

)=

1

3

，f(-

4

3

)=

1

3

判斷f（x）是偶函數(shù)．
對(duì)任何x∈R，函數(shù)f（x）都存在，且存在k∈Z，滿足
k-

1

2

≤x≤k+

1

2

，f（x）=|x-k|，
由k-

1

2

≤x≤k+

1

2

，可以得出-k-

1

2

≤-x≤-k+

1

2

，
即-x∈[-k-

1

2

，-k+

1

2

]，
由（Ⅰ）的結(jié)論，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），
即f（x）是偶函數(shù)．
（3）解：f(x)-loga

x

=0，即|x-k|-

1

2

log_ax=0，
①當(dāng)x＞1時(shí)，|x-k|≥0＞

1

2

log_ax，
∴|x-k|-

1

2

log_ax=0沒有大于1的實(shí)根；
②容易驗(yàn)證x=1為方程|x-k|-

1

2

log_ax=0的實(shí)根；
③當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，方程|x-k|-

1

2

log_ax=0變?yōu)?-x-

1

2

log_ax=0
設(shè)H（x）=

1

2

log_ax-（1-x）（

1

2

＜x＜1）
則H′（x）=

1

2xlna

+1＜

1

2xlne- 1 2

+1=-

1

x

+1＜0，
所以當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，H（x）為減函數(shù)，H（x）＞H（1）=0，
所以方程沒有

1

2

＜x＜1的實(shí)根；
④當(dāng)0＜x≤

1

2

時(shí)，方程|x-k|-

1

2

log_ax=0變?yōu)閤-

1

2

log_ax=0
設(shè)G（x）=

1

2

log_ax-x（0＜x≤

1

2

），顯然G（x）為減函數(shù)，
∴G（x）≥G（

1

2

）=H（

1

2

）＞0，
所以方程沒有0＜x≤

1

2

的實(shí)根．
綜上可知，當(dāng)e-

1

2

＜a＜1時(shí)，方程f(x)-loga

x

=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，實(shí)根為1．

點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．考查新定義求函數(shù)的解析式，以及利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，分類討論求方程根的個(gè)數(shù)問題，體現(xiàn)了分類討論的思想，同時(shí)考查了利用應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和運(yùn)算能力．