Question

對(duì)任意x∈R，給定區(qū)間[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈Z），設(shè)函數(shù)f（x）表示實(shí)數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)整數(shù)之差的絕對(duì)值．
（1）寫出f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log_a

x

，（e-

1

2

＜a＜1），試證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞g（x）；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜g（x）；
（3）求方程f（x）-log_a

x

=0的實(shí)根，（e-

1

2

＜a＜1）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件函數(shù)f（x）表示實(shí)數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)整數(shù)之差的絕對(duì)值，可知k為與x最近的一個(gè)整數(shù)，因此可以求得f（x）的解析式；
（2）要證當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞g（x）求出f（x），易證成立；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，分情況討論，f（x）＜g（x）求出f（x），利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)H（x）=g（x）-f（x）=

1

2

log_ax-（1-x），（

1

2

＜x＜1）．的最小值即可證明結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）易求1就是方程的實(shí)根．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈Z）時(shí)，由定義知：k為與x最近的一個(gè)整數(shù)，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-

1

2

，k+

1

2

]（k∈Z）．
（2）①當(dāng)x＞1時(shí)，|x-k|≥0＞

1

2

log_ax，所以f（x）＞g（x）；
②當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，設(shè)H（x）=g（x）-f（x）=

1

2

log_ax-（1-x），（

1

2

＜x＜1）．
則H′（x）=

1

2

•

1

x

log_ae+1=

1

2xlna

+1＜

1

1xlne- 1 2

+1=-

1

x

+1＜0，
所以當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，H（x）為減函數(shù)，H（x）＞H（1）=0，故f（x）＜g（x）；
③當(dāng)0＜x≤

1

2

時(shí)，設(shè)G（x）=g（x）-f（x）=

1

2

log_ax-x，
明顯G（x）為減函數(shù)，G（x）≥G（

1

2

）=H（

1

2

）＞0，故f（x）＜g（x）．
另證：g（x）=

1

2

log_ax＞

1

2

log_a

1

2

=

1

2

loga4-

1

2

＞

1

2

logae-

1

2

＞

1

2

log_aa=

1

2

=f（

1

2

）＞f（x）．
（3）由（2），容易驗(yàn)證x=1為方程|x-k|-

1

2

log_ax=0的實(shí)根，所以，若e-

1

2

＜a＜1，方程f（x）-log_a

x

=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，實(shí)根為1．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查分段函數(shù)的應(yīng)用．解決分段函數(shù)的問題，一定分段求解，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想和方法，同時(shí)考查了學(xué)生的閱讀能力和分析解決問題的能力和計(jì)算能力．