設(shè)是定義在的可導(dǎo)函數(shù),且不恒為0,記.若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè),總有,則稱為“階負(fù)函數(shù) ”;若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè),總有,則稱為“階不減函數(shù)”(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)).

(1)若既是“1階負(fù)函數(shù)”,又是“1階不減函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)對(duì)任給的“2階不減函數(shù)”,如果存在常數(shù),使得恒成立,試判斷是否為“2階負(fù)函數(shù)”?并說明理由.

 

【答案】

(1)

(2)所有滿足題設(shè)的都是“2階負(fù)函數(shù)”

【解析】

試題分析:解:(1)依題意,上單調(diào)遞增,

 恒成立,得,             2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081012273153661016/SYS201308101228028910763540_DA.files/image007.png">,所以.                        4分

而當(dāng)時(shí),顯然在恒成立,

所以.                                       6分

(2)①先證

若不存在正實(shí)數(shù),使得,則恒成立.     8分

假設(shè)存在正實(shí)數(shù),使得,則有,

由題意,當(dāng)時(shí),,可得上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),恒成立,即恒成立,

故必存在,使得(其中為任意常數(shù)),

這與恒成立(即有上界)矛盾,故假設(shè)不成立,

所以當(dāng)時(shí),,即;            13分

②再證無(wú)解:

假設(shè)存在正實(shí)數(shù),使得,

則對(duì)于任意,有,即有,

這與①矛盾,故假設(shè)不成立,

所以無(wú)解,

綜上得,即,

故所有滿足題設(shè)的都是“2階負(fù)函數(shù)”.             16分

考點(diǎn):新定義

點(diǎn)評(píng):主要是考查了新定義的運(yùn)用,以及函數(shù)與方程的運(yùn)用,屬于中檔題。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為的可導(dǎo)函數(shù),若f(2)=2,且
lim
n→∞
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2x
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設(shè)是定義在的可導(dǎo)函數(shù),且不恒為0,記.若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè),總有,則稱為“階負(fù)函數(shù)”;若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè),總有,

則稱為“階不減函數(shù)”(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)).

(1)若既是“1階負(fù)函數(shù)”,又是“1階不減函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)對(duì)任給的“2階不減函數(shù)”,如果存在常數(shù),使得恒成立,試判斷是否為“2階負(fù)函數(shù)”?并說明理由.

 

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設(shè)是定義在上可導(dǎo)函數(shù)且滿足對(duì)任意的正數(shù),若則下列不等式恒成立的是

   A、  B、  C、   D、

 

 

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設(shè)f(x)是定義在上可導(dǎo)函數(shù)且滿足對(duì)任意的正數(shù)a,b,若則下列不等式恒成立的是   
[     ]
A.  
B.  
C.  
D.

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