Question

若f（x）是R上的偶函數(shù)，并且在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，若f（1）=0，則滿足xf（x）＞0的x的集合是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系得到當(dāng)x＜0時(shí)的性質(zhì)，然后利用分類討論解不等式即可．

解答： 解：∵f（x）是R上的偶函數(shù)，并且在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)，
若f（1）=0，則f（-1）=f（1）=0，
則不等式xf（x）＞0等價(jià)為

x＞0 f(x)＞0=f(1)

，即

x＞0 x＞1

，∴x＞1，
或者

x＜0 f(x)＜0=f(-1)

，即

x＜0 x＞-1

，即-1＜x＜0，
綜上不等式的解為x＞1或-1＜x＜0，
故答案為：{x|x＞1或-1＜x＜0}

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．