Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+5x-1，x∈（-1，1）．如果f（1-a）+f（1-a²）＜-2，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)g（x）=sinx+5x，且x∈（-1，1），判斷出它的奇偶性和單調(diào)性，將f（x）=g（x）-1代入f（1-a）+f（1-a²）＜-2，再將不等式轉(zhuǎn)化g（1-a）＜-g（1-a²）=g（a²-1），結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性，以及函數(shù)的定義域列出具體的不等式求解．

解答： 解：設(shè)g（x）=sinx+5x，且x∈（-1，1），
則g（-x）=sin（-x）-5x=-g（x），
所以g（x）=sinx+5x是奇函數(shù)，且在（-1，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
由f（x）=sinx+5x-1得，f（x）=g（x）-1，
所以f（1-a）+f（1-a²）＜-2，化為g（1-a）-1+g（1-a²）-1＜-2，
即g（1-a）+g（1-a²）＜0，
因為g（x）=sinx+5x在（-1，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以g（1-a）+g（1-a²）＜0等價于g（1-a）＜-g（1-a²）=g（a²-1），
則

-1＜1-a＜1 -1＜1-a2＜1 1-a＞1-a2

，解得1＜a＜

2

，
故a的取值范圍是（1，

2

），
故答案為：（1，

2

）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，以及構(gòu)造函數(shù)思想，靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性去掉不等式中的符號“f”是解決本題的關(guān)鍵，注意函數(shù)的定義域．