【題目】如圖1,四棱錐中,底面,面是直角梯形,為側(cè)棱上一點.該四棱錐的俯視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示.

1)證明:平面;

2)線段上是否存在點,使所成角的余弦值為?若存在,找到所有符合要求的點,并求的長;若不存在,說明理由.

【答案】1)證明見解析(2)存在;點位于點處,此時;或中點處,此時

【解析】

(1)利用俯視圖和勾股定理逆定理可得,再推出,即可推出結(jié)論.

(2)假設(shè)存在滿足條件的點,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)(),依據(jù)題設(shè)條件列出等式求解,有解則存在,無解則不存在.

(1)證明:由俯視圖可得,,

所以,

又因為平面,

所以,

,

所以平面;

(2)線段上存在點,使所成角的余弦值為.

證明如下:

因為平面,,

所以兩兩垂直,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

所以,,,,.

設(shè),其中.

所以,.

要使所成角的余弦值為,則有,

所以,解得2,均適合.

故點位于點處,此時;或中點處,此時,

所成角的余弦值為.

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