Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）．
（1）求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；
（2）在直線OC上是否存在一點(diǎn)P，使(

AB

-

OP

)•

OC

=0？若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量為

AB

+

AC

和

AB

-

AC

，求出坐標(biāo)后，代入向量模的計(jì)算公式，可得答案．
（2）由

OC

=（-2，-1），P點(diǎn)在直線OC上，故可設(shè)

OP

=（2t，t），進(jìn)而根據(jù)(

AB

-

OP

)•

OC

=0，可得t值，進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）．
∴

AB

=（3，5），

AC

=（-1，1）

∵

AD

=

AB

+

AC

=（2，6），

CB

=

AB

-

AC

=（4，4）
|

AD

|=

22+62

=2

10

，|

CB

|=

42+42

=4

2

即以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為4

2

，2

10

（2）存在P(

22

5

，

11

5

)滿足條件，理由如下：
∵

OC

=（-2，-1），故可設(shè)

OP

=（2t，t）
則

AB

-

OP

=（3-2t，5-t）
(

AB

-

OP

)•

OC

=（3-2t）×（-2）+（5-t）×（-1）=5t-11=0
解得t=

11

5

故P點(diǎn)坐標(biāo)為P(

22

5

，

11

5

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量加法的平行四邊形法則，平面向量的模，平面向量數(shù)量積運(yùn)算，是平面向量的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．