Question

【題目】如圖：在三棱錐中，面，是直角三角形，，，，點、、分別為、、的中點.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值；

（3）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連接，證明出平面，即可證得；

（2）連接交于點，由（1）知平面，可得直線與平面所成的角為，通過解，可計算出，進而得出結果；

（3）過點作于點，連接，證明出平面，可得出二面角的平面角為，然后解，即可計算出，進而得出結果.

（1）連接，在中，.

，點為的中點，.

又平面，平面，，

，平面，

、分別為、的中點，，平面，

平面，；

（2）連接交于點，由（1）知平面，

為直線與平面所成的角，且平面，.

平面，、平面，，，

又，，

，，

在中，，

因此，直線與平面所成的角的正弦值為；

（3）過點作于點，連接，

，，,平面，即平面，

平面，，

又，，平面，

平面，，

所以，為二面角的平面角.

在中，，所以，.

因此，二面角的正切值為.