設(shè)函數(shù)f（x）=
13
x3-（1+a）x2+4ax+24a，其中常數(shù)a≥1
（I）討論f（x）的單調(diào)性；
（II）是否存在實數(shù)a≥1，使得對任意x≥0，都有f（x）＞0成立？若存在，求出a的所有可能取值；若不存在，請說明理由．
分析：（I）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，本題需討論a與1的關(guān)系；（II）先將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的最小值大于零問題，再利用（I）中結(jié)論列不等式求a的范圍即可
解答：解：（I）由題意可知f′（x）=x2-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）
（1）當(dāng)a=1時，此時f′（x）=（x-2）2≥0，所以原函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)
（2）當(dāng)a＞1時，此時由f′（x）＞0可得x＞2a或x＜2
所以原函數(shù)f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上為增函數(shù)，在（2，2a）上為減函數(shù)
綜合可知當(dāng)a=1時原函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，當(dāng)a＞1時原函數(shù)f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上為增函數(shù)，在（2，2a）上為減函數(shù)
（II）存在．由題意可知只要f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值大于0即可．
（1）當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，所以只需f（0）＞0即可，顯然符合
（2）當(dāng)a＞1時因為函數(shù)f（x）在[0，2）和（2a，+∞）上為增函數(shù)，在（2，2a）上為減函數(shù)
所以此時只需
f(0)＞0
f(2a)＞0
代入解得0＜a＜6
所以1＜a＜6
綜合（1）（2）可知1≤a＜6
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，不等式恒成立問題的解法，分類討論的思想方法
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•江西模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=
(
1
3
)x-8(x＜0)
x2+x-1(x≥0)
，若f（a）＞1，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）定義在實數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x=1對稱，且當(dāng)x≥1時，f（x）=3x-1，則（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為D，若對任意x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f(
x
3
)=
1
2
f(x)；③f（1-x）=2-f（x）．則f(
1
3
)+f(
1
8
)=（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•成都一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx，記f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x）．
（I）當(dāng)a=-1，b=c=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)c=-a2（a＞0）時，若函數(shù)f（x）的兩個極值點(diǎn)x1、x2滿足|x1-x2|=2，求b的取值范圍；
（III）若a=-
1
3
令h（x）=|f′（x）|，記h（x）在[-1，1]上的最大值為H，當(dāng)b≥0，c∈R時，證明：H≥
1
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
 x3+bx2+cx（c＜b＜1）在x=1處取到一個極小值，且存在實數(shù)m，使f′（m）=-1，
①證明：-3＜c≤-1；
②判斷f′（m-4）的正負(fù)并加以證明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于
-2c
3
，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案