Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈[-1，3]的圖象如圖所示，令g（x）=

∫

x -1

f（t）dt，x∈（-1，3]，則g（x）的圖象是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：定積分,函數(shù)的圖象

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得出所選的選項．

解答： 解：∵g（x）=

∫

x -1

f（t）dt=F′（t）|

x -1

=F′（x）-F′（-1），
∴f（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)y=f（x）可以看出在[0，3]上大于0，所以g（x）在[0，3]上單調(diào)遞增，
∵由圖象可知f（0）=0，f（2）=0，
但當x＜0時，f（x）＜0，0＜x＜2時，f（x）＞0，
∴0是函數(shù)g（x）的極小值點，
由f（x）的圖象可得，f（x）的值在[-1，0]上的逐漸增大，
故函數(shù)f（x）在[-1，1]和[2，3]上增長速度逐漸變大，故函數(shù)g（x）的圖象是下凹型的．
導(dǎo)函數(shù)f（x）的值在[1，2]上的逐漸減小，故函數(shù)g（x）在[0，1]上增長速度逐漸變小，圖象是上凸型的，
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及函數(shù)在某點取得極值的條件，屬于中檔題．