Question

已知點A（﹣1，0），B（1，0），動點M的軌跡曲線C滿足∠AMB=2θ，||||cos²θ=3，過點B的直線交曲線C于P、Q兩點．
（1）求||+||的值，并寫出曲線C的方程；
（2）求△APQ面積的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意，  設(shè)M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ
∴|AM|²+|BM|²﹣2|AM||BM|cos2θ=4
∴（|AM|+|BM|）²﹣2|AM||BM|（1+2cos2θ）=4
∴（|AM|+|BM|）²﹣4|AM||BM|cos2θ=4
∵||||cos²θ=3
∴|AM|+|BM|=4
∴||+||=4
因此點M的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，a=2，c=1
∴曲線C的方程為
（2）設(shè)直線PQ方程為x=my+1（m∈R）
由 x=my+1與，
消元可得：（3m²+4）y²+6my﹣9=0
顯然，方程①的△＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有
S=×2×|y₁﹣y₂|=|y₁﹣y₂|y₁+y₂=，y₁y₂=
∴（y₁﹣y₂）²=（y₁+y₂）²﹣4y₁y₂=
令t=3m²+3，則t≥3，（y₁﹣y₂）²=
由于函數(shù)y=t+在[3，+∞）上是增函數(shù)，∴t+≤
故（y₁﹣y₂）²≤9，即S≤3 ∴△APQ的最大值為3，此時直線PQ的方程為x=1