Question

已知復(fù)數(shù)z₁=cos2x+λi，z₂=m+（sin2x-

3

m）i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂．
（Ⅰ）若λ=0時(shí)，且

π

2

＜x＜π，求x的值；
（Ⅱ）設(shè)λ=f（x），求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等的充要條件,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（Ⅰ）利用復(fù)數(shù)的相等，求出λ的表達(dá)式，通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)表達(dá)式，通過(guò)λ=0時(shí)，且

π

2

＜x＜π，求x的值；
（Ⅱ）設(shè)λ=f（x），直接利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）復(fù)數(shù)z₁=cos2x+λi，z₂=m+（sin2x-

3

m）i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂，cos2x=m
λ=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
所以sin（2x-

π

3

）=0，2x-

π

3

=kπ，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
又

π

2

＜x＜π，所以x=

2π

3

；
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
遞增區(qū)間為：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]．k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題考查分的相等，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查計(jì)算能力．