Question

式子（x²-x+2）¹⁰的二項(xiàng)式展開式中，x³項(xiàng)的系數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：先求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r、r′的值，即可求得x³項(xiàng)的系數(shù)．

解答： 解：式子（x²-x+2）¹⁰ =[（x²-x）+2]¹⁰ 的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 10

•（x²-x）^10-r•2^r，
對(duì)于（x²-x）^10-r，它的通項(xiàng)公式為T_r′+1=（-1）^r′•

C

r′ 10-r

•x^20-2r-r′，
其中，0≤r′≤10-r，0≤r≤10，r、r′都是自然數(shù)．
令20-2r-r′=3，可得

r=7 r′=3

，或

r=8 r′=1

，
故x³項(xiàng)的系數(shù)為

C

7 10

•2⁷•（-1）³+（-1）•

C

8 10

•2⁸•

C

1 2

=-30×2⁹ -45×2⁹=-38400，
故答案為：-38400．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．