Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f（x）=x²+2x．
（1）現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補(bǔ)全函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的遞增區(qū)間；
（2）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的值域；
（3）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，作出函數(shù)在R上的圖象，結(jié)合圖象可得函數(shù)的增區(qū)．
（2）結(jié)合函數(shù)的圖象可得函數(shù)的值域．
（3）依據(jù)條件求得當(dāng)x＞0時，f（x）的解析式，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f（x）在R上的解析式．

解答：解：（1）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，作出函數(shù)在R上的圖象，
結(jié)合圖象可得函數(shù)的增區(qū)間為（-1，0）、減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）結(jié)合函數(shù)的圖象可得，當(dāng)x=1，或 x=-1時，函數(shù)取得最小值為-1，
函數(shù)沒有最大值，故函數(shù)的值域?yàn)閇-1，+∞）．
（3）當(dāng)x＞0時，-x＜0，再根據(jù)x≤0時，f（x）=x²+2x，
可得f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x．
再根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，可得f（x）=x²-2x．
綜上可得，f（x）=

x2+2x ，x≤0 x2-2x ，x＞0

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的圖象的作法，函數(shù)的單調(diào)性和值域，求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．