設(shè)a，b∈R且a+b=3，b＞0，則當(dāng)
1
3|a|
+
|a|
b
取得最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是（　�。�
A、
3
2
B、-
3
2
C、-
3
2
或
3
4
D、3
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：a+b=3，b＞0，可得b=3-a＞0，a＜3，且a≠0．分類討論：當(dāng)0＜a＜3時(shí)，
1
3|a|
+
|a|
b
=
1
3a
+
a
b
=
1
3a
+
a
3-a
=f（a）；當(dāng)a＜0時(shí)，
1
3|a|
+
|a|
b
=-（
1
3a
+
a
b
）=-（
1
3a
+
a
3-a
）=f（a），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．
解答： 解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3-a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①當(dāng)0＜a＜3時(shí)，
1
3|a|
+
|a|
b
=
1
3a
+
a
b
=
1
3a
+
a
3-a
=f（a），
f′（a）=-
1
3a2
+
3
(3-a)2
=
(2a+3)(4a-3)
3a2(3-a)2
，
當(dāng)
3
4
＜a＜3時(shí)，f′（a）＞0，此時(shí)函數(shù)f（a）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a＜
3
4
時(shí)，f′（a）＜0，此時(shí)函數(shù)f（a）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)a=
3
4
時(shí)，
1
3|a|
+
|a|
b
取得最小值．
②當(dāng)a＜0時(shí)，
1
3|a|
+
|a|
b
=-（
1
3a
+
a
b
）=-（
1
3a
+
a
3-a
）=f（a），
f′（a）=
1
3a2
-
3
(3-a)2
=-
(2a+3)(4a-3)
3a2(3-a)2
，
當(dāng)-
3
2
＜a＜0時(shí)，f′（a）＞0，此時(shí)函數(shù)f（a）單調(diào)遞增；當(dāng)a＜-
3
2
時(shí)，f′（a）＜0，此時(shí)函數(shù)f（a）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)a=-
3
2
時(shí)，
1
3|a|
+
|a|
b
取得最小值．
綜上可得：當(dāng)a=-
3
2
或
3
4
時(shí)，
1
3|a|
+
|a|
b
取得最小值．
故選：C．
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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已知實(shí)數(shù)x，y滿足
y≥0
y-x+1≤0
y-2x+4≥0
，若z=y-ax（a≠0）取得的最優(yōu)解（x，y）有無數(shù)個(gè)，則a的值為（　�。�
A、2B、1C、1或2D、-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比是3：3：4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取
 
名學(xué)生．

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已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞2}，則A∩B=（　�。�
A、{x|x＞0}
B、{x|x＜-1或x＞0}
C、{x|x＞4}
D、{x|-1≤x≤4}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={（x，y）|x，y為實(shí)數(shù)，且y=x2}，B={（x，y）|x，y為實(shí)數(shù)，且x+y=1}，則A∩B的元素個(gè)數(shù)為（　�。�
A、無數(shù)個(gè)B、3C、2D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，⊙O的兩條割線與⊙O交于A、B、C、D，圓心O在PAB上，若PC=6，CD=7
1
3
，PO=12，則AB=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，M是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠F1MF2=
π
3
，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（　�。�
A、2
B、
2
3
3
C、
4
3
3
D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：
（1）
AB
+
BC
+
CA

（2）(
AB
+
MB
)+
BO
+
OM

（3）
OA
+
OC
+
BO
+
CO

（4）
AB
-
AC
+
BD
-
CD

（5）
OA
-
OD
+
AD

（6）
AB
-
AD
-
DC

（7）
NQ
+
QP
+
MN
-
MP
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4=1，S3=7，則S5=（　�。�
A、
15
2
B、
17
2
C、
31
4
D、
33
4

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同步練習(xí)冊答案