Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．
（Ⅰ）證明：BN⊥平面C₁NB₁；
（Ⅱ）求平面CNB₁與平面C₁NB₁所成角的余弦值；

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得BA，BC，BB₁兩兩垂直，以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點、向量，利用數(shù)量積證明NB⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，即可證明BN⊥平面C₁NB₁．
（Ⅱ）是平面C₁B₁N的一個法向量，求出平面NCB₁的一個法向量，利用向量的數(shù)量積，可求
二面角C-NB₁-C₁的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，左視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．
以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．--------------（2分）

則B（0，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）．
∴，．------------（4分）
∴NB⊥NB₁，BN⊥B₁C₁．
又NB₁與B₁C₁相交于B₁，∴BN⊥平面C₁NB₁．-------------------（6分）
（Ⅱ）解：∵BN⊥平面C₁NB₁，∴是平面C₁B₁N的一個法向量，------------（8分）
設(shè)為平面NCB₁的一個法向量，則，∴
所以可取．------------（10分）
則cos==
∴所求二面角C-NB₁-C₁的余弦值為．------------（12分）
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定平面的法向量．