Question

已知某幾何體的直觀圖與它的三視圖，其中俯視圖為正三角形，其它兩個視圖是矩形．已知D是這個幾何體的棱A₁C₁上的中點．

（Ⅰ）求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：直線BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求證：直線B₁D⊥平面AA₁D．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三視圖可知：該幾何體是一個正三棱柱，底面是高為

3

的正三角形，三棱柱的高為h=3．先求出底面正三角形的面積，代入正三棱柱的體積計算公式即可得出；
（Ⅱ）由三角形的中位線定理可得OD∥BC₁．結合線面平行的判定定理即可證明直線BC₁∥平面AB₁D；
（III）由等邊三角形三線合一可得B₁D⊥A₁C₁，根據(jù)正三棱柱的幾何特征可得平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，結合面面垂直的性質定理，可得直線B₁D⊥平面AA₁D

解答：解：（Ⅰ）由三視圖可知：該幾何體是一個正三棱柱，底面是高為

3

的正三角形，三棱柱的高為h=3．
由底面是高為

3

的正三角形，可得底面正三角形的邊長為2，
因此S_底面△ABC=

3

4

×2²=

3

．
∴此正三棱柱的體積V=Sh=3

3

．
（Ⅱ）連接A₁B交AB₁于點O，連接OD，
由矩形ABB₁A₁，可得A₁O=OB．
又∵D是這個幾何體的棱A₁ C₁的中點，
∴OD是三角形A₁BC₁的中位線，
∴OD∥BC₁．
∵BC₁?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅲ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形A₁B₁C₁為正三角形，D是棱A₁C₁上的中點
∴B₁D⊥A₁C₁，
又由正三棱柱性質知平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，B₁D?平面A₁B₁C₁，
∴B₁D⊥平面AA₁D，

點評：由三視圖可知正確得出該幾何體是一個正三棱柱，熟練掌握正三角形的面積、正三棱柱的體積計算公式、三角形的中位線定理和線面平行的判定定理、面面垂直的性質定理是解答的關鍵．