Question

f（x）=

4•2011x+2

2011x+1

+5sinx（-1≤x≤1），f_max=M，f_min=N，則M+N=

6

．

Answer 1

分析：設g（x）=

4•2011x+2

2011x+1

=4-

2

2011x+1

，（-1≤x≤1），2011^x是R上的增函數，所以g（x）是R上的增函數．故g（x）在[-1，1]上的最大值為g（1）=4-

2

2011+1

，最小值為g（-1）=4-

4022

2011+1

，因為函數sinx是奇函數，它在[-1，1]上的最大值與最小值互為相反數，所以最大值與最小值的和為0．所以函數f（x）的最大值M與最小值N之和M+N=g（1）+g（-1），由此能求出M+N的值．

解答：解：∵f（x）=

4•2011x+2

2011x+1

+5sinx（-1≤x≤1），
∴設g（x）=

4•2011x+2

2011x+1

=4-

2

2011x+1

，（-1≤x≤1），
∵2011^x是R上的增函數，所以g（x）是R上的增函數．
∴g（x）在[-1，1]上的最大值為g（1）=4-

2

2011+1

，最小值為g（-1）=4-

2

1 2011 +1

=4-

4022

2011+1

，
∵函數sinx是奇函數，它在[-1，1]上的最大值與最小值互為相反數，
最大值與最小值的和為0．
所以函數f（x）的最大值M與最小值N之和M+N=g（1）+g（-1）=4-

2

2011+1

+4-

4022

2011+1

=6．
故答案為：6．

點評：本題考查利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，解題時要認真審題，注意函數性質的綜合運用，易錯點是M+N=g（1）+g（-1）的化簡運算方法不當導致出錯．