已知函數(shù)f（x）=
sinπx(x2+1)(x2-2x+2)
，下列結(jié)論正確的是
（1）（3）（4）
（1）（3）（4）
．
（1）方程f（x）=0在區(qū)間[-100，100]上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是201個(gè)；
（2）函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）既有最大值又有最小值；
（4）函數(shù)f（x）的定義域是R，且其圖象有對(duì)稱軸．
分析：方程f（x）=0即分子為0，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可判斷（1）的真假；由于函數(shù)分母恒大于0，且不具備周期性，而分子具有周期性，可判斷（2）的真假，根據(jù)分母中兩項(xiàng)值域均為[1，+∞），其倒數(shù)的值域均為（0，1]，故函數(shù)必為有界函數(shù)，進(jìn)而判斷出（3）的真假；根據(jù)函數(shù)的分母恒不為0，及f（1-x）=f（x），可判斷（4）的真假．
解答：解：（1）若函數(shù)f（x）=
sinπx
(x2+1)(x2-2x+2)
=0
則sinπx=0，即x∈z，故方程f（x）=0在區(qū)間[-100，100]上實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是201個(gè)，即（1）正確；
（2）由于函數(shù)的分子呈周期性變化，而分母不具周期性，故函數(shù)f（x）不是周期函數(shù)，故（2）錯(cuò)誤；
（3）令分母（x2+1）（x2-2x+2）中的兩項(xiàng)值域均為[1，+∞），其倒數(shù)的值域均為（0，1]，故兩個(gè)函數(shù)相乘后必為有界函數(shù)，
故函數(shù)f（x）既有最大值又有最小值，故（3）正確；
（4）由于函數(shù)的分母恒為正，故函數(shù)的定義域?yàn)镽，
由f（1-x）=
sinπ(1-x)
[(1-x)2+1][(1-x)2-2(1-x)+2]
=
sinπx
(x2-2x+2)(x2+1)
=f（x），可得函數(shù)的圖象關(guān)于x=
1
2
對(duì)稱，故（4）正確；
故答案為（1）（3）（4）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，三角函數(shù)的最值，是三角函數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，難度較大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+bsinx，當(dāng)x=
π
3
時(shí)，取得極小值
π
3
-
3
．
（1）求a，b的值；
（2）對(duì)任意x1，x2∈[-
π
3
，
π
3
]，不等式f（x1）-f（x2）≤m恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)直線l：y=g（x），曲線S：y=F（x），若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn)；②對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）≥F（x），則稱直線l與曲線S的“上夾線”．觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測(cè)曲線S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夾線”的方程，并作適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-blnx在（1，2]是增函數(shù)，g（x）=x-b
x
在（0，1）為減函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=2ax-
1
x2
是區(qū)間（0，1]上的增函數(shù)，且對(duì)于（0，1]內(nèi)的任意兩個(gè)變量s、t，f（s）≥?（t）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos（ 2x+
π
3
）+sin2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿足2
AC
•
CB
=
2
ab，c=2
2
，f（A）=
1
2
-
3
4
，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a
2x
+xlnx，g（x）=x3-x2-x-1．
（1）如果存在x，x∈[0，2]，使得g（x）-g（x）≥M，求滿足該不等式的最大整數(shù)M；
（2）如果對(duì)任意的s，t∈[
1
3
，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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