Question

已知函數(shù)f（x）=log₃x+2，x∈[1，3]，則函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x²）的最大值為（ ）
A．28
B．26
C．27
D．

Answer 1

【答案】分析：由題意，可先求出函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x²）定義域，再化簡F（x）=[log₃x+2]²+log₃x²+2=（log₃x）²+6log₃x+6，令f（x）=t，將求復(fù)合函數(shù)最值的問題轉(zhuǎn)化為F（x）=t²+6t+6=（t+3）²-3，t∈[2，]的最值問題，即可解出最大值選出正確選項
解答：解：由于f（x）=log₃x+2，x∈[1，3]，函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x²）
∴解得x∈[1，]，
∴f（x）∈[2，]，令f（x）=t
又F（x）=[log₃x+2]²+log₃x²+2=（log₃x）²+6log₃x+6
∴F（x）=t²+6t+6=（t+3）²-3，t∈[2，]，
當t=時，函數(shù)F（x）=[f（x）]²+f（x²）的最大值為
故選D
點評：本題考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)在半?yún)^(qū)間上最值的求法，考查了配方的技巧，解題的關(guān)鍵是將求復(fù)合函數(shù)最值的問題轉(zhuǎn)化求外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值域上的最值問題，這是復(fù)合函數(shù)求最值，求值域時常采用的解題技巧