Question

如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=BB₁=2，AB=2

2

，E、F分別是AB和BB₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面A₁D₁E；
（Ⅱ）求三棱錐E-FC₁D₁的體積VE-FC1D1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證EF⊥平面A₁D₁E只需證明A₁D₁⊥EF，A₁E⊥EF，又A₁E∩A₁D₁=A₁即可．
（Ⅱ）要求三棱錐E-FC₁D₁的體積VE-FC1D1，轉(zhuǎn)化為求VB-FC1D1，兩者體積相等求解即可．

解答：解：（Ⅰ）證明：在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D₁⊥面AB₁，EF?面AB₁，
∴A₁D₁⊥EF．
又由已知：AE=

2

，BF=1，AA₁=2，BE=

2

，
∴

AE

BF

=

AA1

BE

=

2

，
又∠A₁AE=∠EBF=90°，
∴Rt△AA₁E∽R(shí)t△BEF，
∴∠AEA₁+∠BEF=∠AEA₁+∠AA1E=

π

2

．
∴A₁E⊥EF，又A₁E∩A₁D₁=A₁，
∴EF⊥平面A₁D₁E．
（Ⅱ）∵AB∥C₁D₁，AB?面FC₁D₁，C₁D₁?面FC₁D₁，
∴AB∥面FC₁D₁，
∴VE-FC1D1=VB-FC1D1=

1

3

×

1

2

×1×2×2

2

=

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面的垂直，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，�？碱}型．