Question

已知冪函數(shù)f(x)=xm2-2m-3(m∈z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論F(x)=a

f(x)

-

b

xf(x)

的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由冪函數(shù)f（x）為（0，+∞）上遞減，推知m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3因?yàn)閙為整數(shù)故m=0，1或2，又通過(guò)函數(shù)為偶函數(shù)，推知m²-2m-3為偶數(shù)，進(jìn)而推知m²-2m為奇數(shù)，進(jìn)而推知m只能是1，把m代入函數(shù)，即可得到f（x）的解析式．
（2）把f（x）的解析式代入F（x），得到F（x）的解析式．然后分別討論a≠0且b≠0時(shí)，a=0且b≠0時(shí)，a≠0且b=0時(shí)，a=b=0時(shí)，函數(shù)的奇偶性．

解答：解：（1）f(x)=xm2-2m-3=xm(m-2)-3，由題意知m（m-2）為奇數(shù)又m∈z
且f（x）在（0，+∞）上遞減，
∴m=1，f（x）=x^-4
（2）F(x)=a

x-4

-

b

x•x-4

=a•x-2-b•x3(x≠0)
∵y=x^-2是偶函數(shù)，y=x³是奇函數(shù)
①a≠0且b≠0時(shí)，F(xiàn)（x）為非奇非偶函數(shù)；
②a=0且b≠0時(shí)，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)；
③a≠0且b=0時(shí)，F(xiàn)（x）為偶函數(shù)；
④a=b=0時(shí)，F(xiàn)（x）為奇且偶函數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用．要理解好函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義并能靈活利用．