Question

已知向量

m

=

3 sin2x

，

1

，

n

=

1

，

3+cos2x

，設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若2

AC

•

BC

=

2

ab，c=2

2

，f（A）=4，求b．

Answer 1

考點：正弦定理的應(yīng)用,平面向量的綜合題

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運用平面向量的數(shù)量積的坐標公式，及兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的增區(qū)間，即可得到所求；
（Ⅱ）由向量的數(shù)量積的定義，求得C，再由f（A）=4，求得A，再由正弦定理，即可得到b．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=

3 sin2x

，

1

，

n

=

1

，

3+cos2x

∴f(x)=

m

•

n

=

3

sin2x+cos2x+3
=2sin(2x+

π

6

)+3，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
故kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

(k∈Z)，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．  
（Ⅱ）∵2

AC

•

BC

=

2

ab，∴2bacosC=

2

ab，cosC=

2

2

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

4

，
由f（A）=4得f(A)=2sin(2A+

π

6

)+3=4，
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
又A為△ABC的內(nèi)角，

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

，
由于c=2

2

，由正弦定理，得

b

sinB

=

c

sinC

⇒

b

sin(π-A-C)

=

2 2

2 2

⇒b=4sin(

π

4

+

π

3

)，
則b=4(

2

2

1

2

+

2

2

3

2

)=

2

+

6

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標公式和三角函數(shù)的恒等變換公式的運用，同時考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦定理的運用，考查兩角和差公式，以及運算能力，屬于中檔題．