Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+5（a＞0）
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的值；
（2）若a∈[3，6]，當(dāng)x∈[-4，4]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得f′（x）=3（x-）（x+a）（a＞0），所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-a），（，+∞），減區(qū)間為（-a，），所以函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（-a）=0或f（）=0，因?yàn)閍＞0所以a=3．
（2）由題知-a∈[-6，-3]，∈[1，2]，當(dāng)4≤a≤6時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[-4，）上單調(diào)遞減，在（，4]上單調(diào)遞增，所以f（-4）-f（4）=8（a²-16）≥0，所以f（x）_max=f（-4）=4a2+16a-59，同理得當(dāng)3≤a＜4時(shí)，f（x）_max=f（4）=-4a²+16a+69；
解答：解：（1）由題意得f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-）（x+a）（a＞0），
由f′（x）＞0得x＜-a，或x＞，由f′（x）＜0得-a＜x＜，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，-a），（，+∞），減區(qū)間為（-a，），
即當(dāng)x=-a時(shí)，函數(shù)取極大值f（-a）=a³+5，
當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取極小值f（）=-+5，
又f（-2a）=-2a³+5＜f（），f（2a）=10a³+5＞f（-a），
所以函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f（-a）=0或f（）=0，
注意到a＞0，所以f（）=-=0，即a=3．
故a的值是3．
（2）由題知-a∈[-6，-3]，∈[1，2]，
當(dāng)-a≤-4即4≤a≤6時(shí)，
函數(shù)f（x）在[-4，）上單調(diào)遞減，在（，4]上單調(diào)遞增，
注意到f（-4）-f（4）=8（a²-16）≥0，
所以f（x）_max=f（-4）=4a2+16a-59；
當(dāng)-a＞-4即3≤a＜4時(shí)，
函數(shù)f（x）在[-4，-a）上單調(diào)增，在（-a，）上單調(diào)減，在（，4]上單調(diào)增，
注意到f（-a）-f（4）=a³+4a²-16a-64=（a+4）²（a-4），
所以f（x）_max=f（4）=-4a²+16a+69；
綜上，f（x）_max=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決極值問(wèn)題通過(guò)極值求出參數(shù)，利用參數(shù)的范圍與定義域的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最大值．本題利用了分類討論的思想這是數(shù)學(xué)上的一個(gè)很主要的數(shù)學(xué)思想．