Question

在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，AB的中點(diǎn)（如圖1）．將四邊形ABCD沿FG折成空間圖形（如圖2）后，
（1）求證：DE⊥FG；
（2）線段BG上是否存在一點(diǎn)M，使得AM∥平面BDF？若存在，試指出點(diǎn)M的位置，并證明之；若不存在，試說明理由．

Answer 1

證明：（1）在圖1中，因?yàn)椤螦BC=∠BAD=90°，所以AD∥BC．
因?yàn)镕，G分別是CD，AB的中點(diǎn)，所以FG∥AD∥BC．
在圖2中，因?yàn)镕G∥AD，F(xiàn)G∥BC，所以AD∥BC．
因?yàn)锽C=2AD，E是BC的中點(diǎn)，所以AD=BE．
所以四邊形ABED是平行四邊形．
所以AB∥DE．
因?yàn)椤螱AD=∠GBC=90°，F(xiàn)G∥AD，F(xiàn)G∥BC，
所以AG⊥FG，且BG⊥FG．
因?yàn)锳G∩BG=G，且AG，BG?平面AGB，所以FG⊥平面AGB．
因?yàn)锳B?平面AGB，所以FG⊥AB．
所以DE⊥FG．
（2）當(dāng)M在線段BG上，且BM=2MG時(shí)，AM∥平面BDF．
證明如下：
在線段BF上取點(diǎn)N，使BN=2NF．
因?yàn)镕G是梯形ABCD的中位線，BC=2AD=4，
所以FG∥AD，且FG=3．
因?yàn)锽M=2ME，BN=2NF，所以MN∥FG，且MN=

2

3

FG=2.
所以MN

∥ .

.

AD.
所以四邊形MNDA是平行四邊形．
所以AM∥DN．
又因?yàn)镈N?平面BDF，AM?平面BDF，
所以AM∥平面BDF．