Question

已知曲線C是到兩定點(diǎn)F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距離之差的絕對(duì)值等于定長2a的點(diǎn)的集合．
（1）若a=

3

，求曲線C的方程；
（2）若直線l過（0，1）點(diǎn)，且與（1）中曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線方程；
（3）若a=1，是否存在一直線y=kx+2與曲線C相交于兩點(diǎn)A、B，使得OA⊥OB，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由雙曲線定義得曲線C是以F₁（-2，0）、F₂（2，0）為焦點(diǎn)，以2

3

為實(shí)數(shù)的雙曲線，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，k=±

3

3

時(shí)，直線l為y=±

3

3

x+1與曲線C：

x2

3

-y2=1只有一個(gè)焦點(diǎn)．聯(lián)立

x2-3y2=3 y=kx+1

，得（1-3k²）x²-6kx-6=0，當(dāng)1-3k²≠0時(shí)，△=36k²+24（1-3k²）=0，由此能求出直線l的方程．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，曲線C的方程為x2-

y2

3

=1，聯(lián)立

x2- y2 3 =1 y=kx+2

，得（3-k²）x²-4kx-4=0，由OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=4-

4

3-k2

=0，能求出k．

解答： 解：（1）∵曲線C是到兩定點(diǎn)F₁（-2，0）、F₂（2，0）的距離之差的絕對(duì)值等于定長2

3

，
∴由雙曲線定義得曲線C是以F₁（-2，0）、F₂（2，0）為焦點(diǎn)，
以2

3

為實(shí)數(shù)的雙曲線，
∴曲線C的方程為

x2

3

-y2=1．
（2）∵直線l過（0，1）點(diǎn)，
∴當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l為x=0，不成立；
當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=kx+1，
當(dāng)k=±

3

3

時(shí)，直線l為y=±

3

3

x+1與曲線C：

x2

3

-y2=1只有一個(gè)焦點(diǎn)．
聯(lián)立

x2-3y2=3 y=kx+1

，得（1-3k²）x²-6kx-6=0，
當(dāng)1-3k²≠0時(shí)，
△=36k²+24（1-3k²）=0，
解得k=±2，
∴直線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l的方程為y=±2x+1．
綜上所述，直線l的方程為y=±

3

3

x+1或y=±2x+1．
（3）當(dāng)a=1時(shí)，曲線C的方程為x2-

y2

3

=1，
聯(lián)立

x2- y2 3 =1 y=kx+2

，得（3-k²）x²-4kx-4=0，
△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4k

3-k2

，x₁x₂=-

4

3-k2

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+4
=-

4k2

3-k2

+

4k2

3-k2

+4=4，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=4-

4

3-k2

=0，
3-k²=1，解得k=±

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線的斜率是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．