Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），則滿足F（3）＞F（2x-1）的解集為？

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和條件，判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可．

解答： 解：∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式xf′（x）＜f（-x），等價為xf′（x）＜-f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
∵F（x）=xf（x），
∴F′（x）=xf′（x）+f（x），
即當(dāng)x∈（-∞，0]時，F(xiàn)′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴F（x）=xf（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)．
即不等式F（3）＞F（2x-1）等價為F（3）＞F（|2x-1|），
∴|2x-1|＜3，
∴-3＜2x-1＜3，
即-2＜2x＜4，
∴-1＜x＜2，
即不等式的解集（-1，2）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．