已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x2-ax（a∈R）．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程；
（2）a=3時(shí)，求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)an=1+
1
n
（n∈N*），求證：3(a1+a2+…+an)-
a21
-
a22
-…-
a2n
＜ln(n+1)+2n．
（1）f（x）=lnx，f′(x)=
1
x
，f'（1）=1，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））的切線方程為y=1（x-1），即x-y-1=0．…（4分）
（2）F（x）=lnx+x2-3x，F′(x)=
1
x
+2x-3=
2x2-3x+1
x
=
(2x-1)(x-1)
x
…（6分）
由F′(x)＞0?0＜x＜
1
2
或x＞1，F(xiàn)'（x）＜0?
1
2
＜x＜1，…（8分）
所以函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，
1
2
)，(1，+∞)；減區(qū)間為(
1
2
，1)…（9分）
（3）由（2）知a=3時(shí)，F(xiàn)（x）=lnx+x2-3x在（1，+∞）上是增函數(shù)．
所以F(1+
1
n
)＞F(1)=-2．
所以ln(1+
1
n
)+(1+
1
n
)2-3(1+
1
n
)＞-2．
所以3(1+
1
n
)-(1+
1
n
)2＜2+ln(1+
1
n
)．
即3an-
a2n
＜2+ln(1+
1
n
)．       …（12分）
所以3a1-
a21
＜2+ln(1+1)，3a2-
a22
＜2+ln(1+
1
2
)，3a3-
a23
＜2+ln(1+
1
3
)，
…3an-
a2n
＜2+ln(1+
1
n
)．
所以3(a1+a2+…+an)-
a21
-
a22
-…-
a2n
=(3a1-
a21
)+(3a2-
a22
)+…+(3an-
a2n
)＜(2+ln
2
1
)+(2+ln
3
2
)+…+(2+ln
n+1
n
)＜2n+ln（n+1）．
故所證不等式成立．    …（14分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問(wèn)：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過(guò)點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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