Question

如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB⊥AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點，DE⊥平面BCC₁

(Ⅰ)證明：AB＝AC

(Ⅱ)設(shè)二面角A－BD－C為60°，求B₁C與平面BCD所成的角的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)取BC中點F，連接EF，則EF，從而EFDA． 　　連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF∥DE．又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，從而AF⊥BC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB＝AC． 　　(Ⅱ)作AG⊥BD，垂足為G，連接CG．由三垂線定理知CG⊥BD，故∠AGC為二面角A－BD－C的平面角．由題設(shè)知，∠AGC＝60°． 　　設(shè)AC＝2，則AG＝．又AB＝2，BC＝，故AF＝． 　　由AB·AD＝AG·BD得2AD＝，解得AD＝． 　　故AD＝AF．又AD⊥AF，所以四邊形ADEF為正方形． 　　因為BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD＝A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF． 　　連接AE、DF，設(shè)AE∩DF＝H，則EH⊥DF，EH⊥平面BCD． 　　連接CH，則∠ECH為B1C與平面BCD所成的角． 　　因ADEF為正方形，AD＝，故EH＝1，又EC＝B1C＝2， 　　所以∠ECH＝30°，即B1C與平面BCD所成的角為30°． 　　解法二： 　　(Ⅰ)以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A－xyz． 　　設(shè)B(1，0，0)，C(0，b，0)，D(0，0，c)，則B1(1，0，2c)，E(，，c)． 　　于是＝(，，0)，＝(－1，b，0)．由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC，＝0，求得b＝1，所以AB＝AC． 　　(Ⅱ)設(shè)平面BCD的法向量則又＝(－1，1，0)，＝(－1，0，c)，故 　　令x＝1，則y＝1，z＝，＝(1，1，)． 　　又平面ABD的法向量＝(0，1，0) 　　由二面角A－BD－C為60°知，＝60°， 　　故°，求得 　　于是， 　　， 　　° 　　所以B1C與平面BCD所成的角為30°