Question

已知（x+m）²ⁿ⁺¹與（mx+1）²ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展開式中含xⁿ項(xiàng)的系數(shù)相等，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出（x+m）²ⁿ⁺¹與（mx+1）²ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展開式中含xⁿ項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)已知條件得到關(guān)于m，n的方程；分離出m看成關(guān)于n的函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性，求出m的范圍．

解答：解：設(shè)（x+m）²ⁿ⁺¹的展開式為T_r+1，
則T_r+1=C_2n+1^rx^2n+1-rm^r，
令2n+1-r=n
得r=n+1，
所以xⁿ的系數(shù)為C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹．
由C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=C_2nⁿmⁿ，
得m=

n+1

2n+1

是關(guān)于n的減函數(shù)，
∵n∈N⁺，
∴

1

2

＜m≤

2

3

所以的取值范圍是

1

2

＜m≤

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，是一道基礎(chǔ)題．