Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx．
（1）若a=2e，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）在（0，e）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2e時(shí)，f（x）=x²-2elnx，（x＞0）．f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x+ e )(x- e )

x

．
分別解出f′（x）＜0，f′（x）＞0，即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值．
（2）f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

．對(duì)a分類(lèi)討論：（i）當(dāng)a≤0時(shí)，即可得出（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得：函數(shù)f（x）在x=

2a

2

處取得極小值即最小值．要使f（x）在（0，e）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則必須最小值f(

2a

2

)＜0．解得a＞2e．從而

2a

2

＞

e

＞1，還必須滿足：

f(e)=e2-alne＞0 2a 2 ＜e

，解得即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2e時(shí)，f（x）=x²-2elnx，（x＞0）．
f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x+ e )(x- e )

x

．
當(dāng)x∈(0，

e

)時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(

e

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

e

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f(

e

)=e-2e×

1

2

=0．無(wú)極大值．
（2）f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

．
（i）當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）在（0，e）上不可能有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)=

2(x+ 2a 2 )(x- 2a 2 )

x

，
由f′（x）=0，解得x=

2a

2

．
由x∈(0，

2a

2

)時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；由x∈(

2a

2

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．則函數(shù)f（x）在x=

2a

2

處取得極小值即最小值，f(

2a

2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
要使f（x）在（0，e）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則必須最小值f(

2a

2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

＜0．
解得a＞2e．從而

2a

2

＞

e

＞1，
還必須滿足：

f(e)=e2-alne＞0 2a 2 ＜e

，解得2e＜a＜e²．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2e，e²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值、函數(shù)的零點(diǎn)，考查了分類(lèi)討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．