Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²圖象上一點(diǎn)P（1，b）處的切線斜率為-3，g（x）=x³+

t-6

2

x²-（t+1）x+3（t＞0），
（1）求a、b的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，4]時(shí)，求f（x）的值域；
（3）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)得幾何意義f′（1）=-3，可求得a=-3，將（1，b）代入函數(shù)f（x）=x³-3x²，可求得b；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，可求得閉區(qū)間x∈[-1，4]上的最值，從而可求得f（x）的值域；
（3）依題意，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，不等式f（x）≤g（x）恒成立⇒tx²-2（t+1）x+6≥0（t＞0）恒成立，令g（x）=x²-

2(t+1)

t

x+

6

t

（t＞0），利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，可分別求得t≥

1

3

時(shí)與0＜t＜

1

3

時(shí)g（x）_min，≥0，從而可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax，
∵過函數(shù)f（x）=x³+ax²的圖象上一點(diǎn)P（1，b）的切線的斜率為-3，
∴f′（1）=-3，
∴a=-3，
將（1，b）代入函數(shù)f（x）=x³-3x²，可得b=-2．
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
當(dāng)x∈[-1，0]與x∈[2，4]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）_極大=f（0）=0，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_極小=f（2）=-4；
又f（-1）=-4，f（4）=64-48=16，
∴當(dāng)x∈[-1，4]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇-4，16]；
（3）∵當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，不等式f（x）≤g（x）恒成立，
∴當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，-3x²≤

t-6

2

x²-（t+1）x+3（t＞0）恒成立，
即

t

2

x²-（t+1）x+3≥0（t＞0）恒成立，也就是tx²-2（t+1）x+6≥0（t＞0）恒成立，
令g（x）=x²-

2(t+1)

t

x+

6

t

（t＞0），
①若1＜

(t+1)

t

≤4，即t≥

1

3

時(shí)，g（x）_min=g（

t+1

t

）=(

t+1

t

)2-2(

t+1

t

)2+

6

t

=

6

t

-(

t+1

t

)2＞0，
解得：2-

3

≤t≤2+

3

，故

1

3

≤t≤2+

3

；
②若

(t+1)

t

＞4，即0＜t＜

1

3

時(shí)，g（x）在[1，4]上單調(diào)遞減，
要使x∈[1，4]時(shí)，g（x）≥0恒成立，只需g（x）_min=g（4）=16-

8(t+1)

t

+

6

t

=8-

2

t

≥0即可，
解得：t≥

1

4

，又0＜t＜

1

3

，故

1

4

≤t＜

1

3

；
綜合①②得：

1

4

≤t≤2+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，綜合考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與閉區(qū)間上的最值，考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，的綜合應(yīng)用，考查邏輯思維、創(chuàng)新思維、推理運(yùn)算能力，屬于難題．