Question

如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F(xiàn)分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求證：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）若EC=3，求證：ND⊥FC；
（Ⅲ）求四面體NFEC體積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先證明四邊形MNCD是平行四邊形，利用線面平行的判定，可證NC∥平面MFD；
（Ⅱ）連接ED，設ED∩FC=O．根據(jù)平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可證NE⊥平面ECDF，從而可得FC⊥NE，進一步可證FC⊥平面NED，利用線面垂直的判定，可得ND⊥FC；
（Ⅲ）先表示出四面體NFEC的體積，再利用基本不等式，即可求得四面體NFEC的體積最大值．
解答：（Ⅰ）證明：因為四邊形MNEF，EFDC都是矩形，
所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．
所以四邊形MNCD是平行四邊形，…（2分）
所以NC∥MD，…（3分）
因為NC?平面MFD，所以NC∥平面MFD．        …（4分）
（Ⅱ）證明：連接ED，設ED∩FC=O．
因為平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，
所以NE⊥平面ECDF，…（5分）
因為FC?平面ECDF，
所以FC⊥NE．                              …（6分）
又EC=CD，所以四邊形ECDF為正方形，所以 FC⊥ED．  …（7分）
所以FC⊥平面NED，…（8分）
因為ND?平面NED，
所以ND⊥FC．                                …（9分）
（Ⅲ）解：設NE=x，則EC=4-x，其中0＜x＜4．
由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面體NFEC的體積為． …（11分）
所以．                      …（13分）
當且僅當x=4-x，即x=2時，四面體NFEC的體積最大． …（14分）
點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，考查基本不等式的運用，掌握線面平行，線面垂直的判定方法，正確表示四面體NFEC的體積是關鍵．