Question

A 若方程a^x-x-a=0有兩個實數(shù)解，則a的取值范圍是

（1，+∞）

B 如圖，矩形ABCD中邊長AB=2，BC=1，E為BC的中點，若F為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點，則

AE

•

AF

的最大值為

9

2

．

Answer 1

分析：A：方程a^x-x-a=0變形為：方程a^x=x+a，由題意得，函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=a+x 有兩個不同的交點，結(jié)合圖象得出結(jié)果．
B：解：分別以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，則由E（2，

1

2

），C（2，1），設(shè)F（x，y）可求

AE

•

AF

=2x+

1

2

y，令z=2x+

1

2

y，則y=-4x+2z，2z為目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線在y軸上的截距，截距越大，z越大，利用線性規(guī)劃的知識可求

解答：解A：方程a^x-x-a=0變形為：方程a^x=x+a，
由題意得，方程a^x-x-a=0有兩個不同的實數(shù)解，
即函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=a+x 有兩個不同的交點，
y=a^x的圖象過定點（0，1），直線y=x+a 的圖象過定點（0，a），如圖所示：
故直線y=x+a 在y軸上的截距大于1時，函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=a+x 有兩個不同的交點
故答案為（1，+∞）

解B：分別以AB為x軸，AD為y軸建立直角坐標(biāo)系，則E（2，

1

2

），C（2，1），設(shè)F（x，y）
∴

AE

=(2，

1

2

)，

AF

=(x，y)
所以

AE

•

AF

=2x+

1

2

y
令z=2x+

1

2

y，則y=-4x+2z，2z為目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線在y軸上的截距，截距越大，z越大
x，y滿足的區(qū)域即矩形ABCD內(nèi)及邊界
結(jié)合線性規(guī)劃的知識可得，當(dāng)點F在C（2，1）處時，z最大，此時：z=2×2+

1

2

=

9

2

故答案為：

9

2

點評：本題A主要考查了指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的圖象來解決方程根的問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
B主要考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，線性規(guī)劃知識的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化規(guī)思想的應(yīng)用．